Letter 01 to IAS2014

经历种种而活到现在，各种经历都可能会影响一辈子，一直深感幸运，对碰到的贵人从来都是心存感激；这些感觉对比身边的人有甚。这也算是我主动要求做班主任的第一个初衷，希望将曾经接收到的帮助、支持、鼓励等等转移给后辈。当然，这其中不乏好大喜功的成分。去年年底，我的博弈论考试，有人堂而皇之地将题目抄写了一遍、作为答案；今年年初，监考，一门普通的考试，50 人的考场，我 2 小时内抓到 4 名作弊者；还有很多类似的。当下的学生似乎风气越来越不对头了。我当然不愿意去做螳臂当车的事情，但也真心地希望，能做好一点就做好一点吧；另外，不去做就等于永远都做不成。

我算是一个凭借着热情干事的人，希望不会有太多的懈怠；这也算是我在大陆的教育系统中想做的最后一件事情了，完成了便了无牵挂。这是我站在班主任这个角度的第一封信。

言归正传。一共 50 人参加弘毅班数学考试，满分 100，平均分 23.22，最高 52 分。好吧，我的手是不是颤抖地有点狠了。之前觉得前三题应该都是热身题，40 分妥妥地，可惜我还是太天真了。

50 分以上：2 人
40–49：3 人
30–39：10 人
20–29：15 人
10–19：11 人
0–9： 9 人

第一题

已知常数 $a > 0$ ，向量 $c = (0,a)$ ， $i = (1,0)$ 。经过原点 $O$ 以 $c + \lambda i$ 为方向向量的直线与经过定点 $A\ (0,a)$ 以 $i - 2 \lambda c$ 为方向向量的直线相交于点 $P$ ，其中 $\lambda \in \mathbb{R}$ 。试问，是否存在两个定点 $E$ 和 $F$ ，使得 $|PE| + |PF|$ 为定值。若存在，求出 $E$ 和 $F$ 的坐标；若不存在，说明理由。

此题选自 2003 年高考江苏卷第 20 题。选这道题有两个初衷，其中一个就是给热热身，但没想到难倒了一大半人，基本全对只有 8 人。答案如下：

因为 $i = (1,0)$ 和 $c = (0,a)$ ，所以我们有 $c + \lambda i = (\lambda, a)$ 和 $i - 2 \lambda c = (1,-2 \lambda a)$ 。因此，直线 $OP$ 和 $AP$ 的放成分别为
$\lambda y = a x \qquad \qquad y - a = -2 \lambda a x$
消去参数 $\lambda$ ，得到点 $P\ (x,y)$ 的坐标满足方程
$y (y-a) = -2 a^2 x^2$
整理得方程（1）：
$\frac{x^2}{1/8} + \frac{(y-a/2)^2}{(a/2)^2} = 1$

因为 $a > 0$ ，所以得：

当 $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，方程（1）是圆方程，故不存在合乎题意的定点 $E$ 和 $F$ 。
当 $0 < a < \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，方程（1）表示椭圆，焦点 $E\ \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}-a}, \frac{a}{2} \right)$ 和 $F\ \left( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}-a}, \frac{a}{2} \right)$ 为合乎题意的两个定点。
当 $\frac{1}{\sqrt{2}} < a$ 时，方程（1）表示椭圆，焦点 $E\ \left( 0, \frac{1}{2} \left(a + \sqrt{\frac{1}{2}-a} \right) \right)$ 和 $F\ \left(0, \frac{1}{2} \left(a - \sqrt{\frac{1}{2}-a} \right) \right)$ 为合乎题意的两个定点。

第二题

求证：对于任意正整数 $n$ ， $\left[ \frac{n}{1} \right] + \left[ \frac{n}{2} \right] + \cdots + \left[ \frac{n}{n} \right] + \left[ \sqrt{n} \right]$ 总是偶数。这里， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。

此题选自 matrix67 的博客（链接），主要考察数学归纳法的使用以及对新记号 $[x]$ 的理解。答对的一共有 2 人。答案如下：

令 $f(n) = \left[ \frac{n}{1} \right] + \left[ \frac{n}{2} \right] + \cdots + \left[ \frac{n}{n} \right] + \left[ \sqrt{n} \right]$ 容易得到 $f(1) = 2$ ，这是一个偶数。接下来我们只要证明，对于所有的正整数 $k$ ， $f(k+1) - f(k)$ 的结果都是一个偶数。注意，如果 $i$ 正好是 $k+1$ 的一个约数，那么 $[(k+1)/i] - [k/i]$ 将会等于1，否则 $[(k+1)/i] - [k/i]$ 都会等于 $0$ 。于是我们有 $f(k+1) - f(k) = \sigma(k+1) + [\sqrt{k+1}] - [\sqrt{k}]$ 其中 $\sigma(k+1)$ 表示 $k+1$ 的约数的个数。

由于一个数的约数总是成对地出现，因而 $\sigma(k+1)$ 几乎总是一个偶数，除非 $k+1$ 恰好是一个完全平方数；另外， $[\sqrt{k+1}] - [\sqrt{k}]$ 的值几乎总是为 $0$ ，只有当 $k+1$ 恰好是一个完全平方数时才等于 $1$ 。也就是说，当 $k+1$ 不是完全平方数时， $\sigma(k+1)$ 是一个偶数，并且 $[\sqrt{k+1}] - [\sqrt{k}] = 0$ ；当 $k+1$ 正好是完全平方数时， $\sigma(k+1)$ 是一个奇数，并且 $[\sqrt{k+1}] - [\sqrt{k}] = 1$ 。不管怎样， $f(k+1) - f(k) = \sigma(k+1) + [\sqrt{k+1}] - [\sqrt{k}]$ 的结果都是一个偶数。至此，结论也就证到了。

当然，这道题被选中还有另一个原因，那就是下面的优雅的证明，图也选自 matrix67 的博客：

201405061

容易看出， $[n/1] + [n/2] + [n/3] + \cdots + [n/n]$ 的值，其实就是第一象限里位于函数 $y = n/x$ 及其下方的整数格点的个数。我们把这些点分成两类：位于一三象限角平分线以外的，以及恰好位于一三象限角平分线上的。前一类的点总是成对地出现，因而一定有偶数个。但是，后一类点并不是成对出现的。那么，这些点一共有多少个呢？注意到，这些点也就是所有形如 $(i, i)$ 的点，其中 $i^2$ 不能超过 $n$ 。因而，这样的点一共有 $[\sqrt{n}]$ 个。因此， $[n/1] + [n/2] + [n/3] + \cdots + [n/n] + [\sqrt{n}]$ 的值，其实就等于这两类点的总个数，其中后一类点被重复计算了两次。这个值显然应该是偶数。

第三题

一人用颤抖的双手拿着艾滋病检测呈阳性的化验单去找医生：「医生，弱弱的问一句，这个检测呈阳性是什么意思啊？」

医生：「同志，做好心理准备，你很有可能要悲剧了……目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每 1000 人中就有一人得艾滋病。我们采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有 0.05 的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有 0.01 的概率会发生。根据这些数据，你差不多可以估计出来自己的囧况了……」

那人：「我擦，那哥悲剧了……」

请问：如果你就是这位哥们，在艾滋病检检测呈阳性的条件下，你真的得了艾滋病的概率是多大呢？

此题选自果壳（链接），主要考察贝叶斯公式和全概率公式。答案如下：

我们定义事件 HIV 为「被检测人带有艾滋病病毒」，则 -HIV 表示被检测人不携带艾滋病病毒；定义事件 + 为「试验结果呈阳性」。我们要求的是概率 $P( HIV \mid + )$ 。由贝叶斯公式和全概率公式可知
$P( HIV \mid +) = \frac{ P(HIV) }{ P(+) } P( + \mid HIV) = \frac{ P(HIV) \cdot P(+ \mid HIV)}{P(HIV) \cdot P(+ \mid HIV) + P(-HIV) \cdot P(+ \mid -HIV)}$

由定义以及医生告诉我们的话可知，其中 $P(HIV)=0.001$ ， $P(+ \mid HIV) = 1-0.05=0.95$ ， $P(-HIV) = 0.999$ ， $P(+ \mid -HIV) = 0.01$ 。

因此带入数据可得， $P(HIV \mid +) = \frac{95}{1094} = 0.087$ 。

第四题

能否把左图连续地变形为右图？如果可以请画出变形的示意图；如果不能，请阐述理由。我们假设物体是用橡胶做成的，可以随意地拉伸、挤压、弯曲，但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。

此题选自 matrix67 的博客（链接）。主要考察空间想象能力和新事物的探索能力。请注意，物体是橡胶做的，可以随意地拉伸、挤压、弯曲。答案如下：

201212186

更详细的图示：

201212187a

第五题

图中是一个立方体，立方体的棱上有一只蚂蚁在爬行。在立方体的每个顶点，蚂蚁会随机地选择一条棱爬行（也就是说，三条棱中每一条被选择的概率是 $\frac{1}{3}$ ）。对于每一条棱，蚂蚁从一端爬到另一端需要的时间是 1 秒钟。请问蚂蚁从图中的 $A$ 点出发，预计需要多少时间可以到达 $B$ 点。

这道题应该是整张试卷上难度最高的题，同样考查的是与概率论相关的知识；概率在当代经济学中几乎无处不在，因而七道题中就两道概率题。此题是今年夏天我两哥们在某投行的面试题，有很简单的解法；当然高等概率论中的马尔科夫链对于这类问题有完整的、系统的解法。较简单的答案如下：

Answer

设从 $A$ 点出发预计到达 $B$ 点耗时 $x$ 秒。由于对称性，可以设从与 $A$ 相邻的点（下文用 $C$ 表示这三个点）出发到达 $B$ 预计耗时 $y$ 秒，与 $B$ 相邻的点（下文用 $D$ 表示这三个点）出发到达 $B$ 预计耗时 $z$ 秒。于是我们有如下方程：
$x = 1 + y \qquad y = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}z \qquad z = 1 + \frac{2}{3}y$
其中第一个方程的意义是：从 $A$ 向前走一步，一定到达 $C$ ，而从 $C$ 到达 $B$ 预计耗时 $y$ 秒，从 $A$ 点出发到达 $B$ 预计耗时 $x$ 秒， $x$ 比 $y$ 大 1。第二个方程的意义是：从 $C$ 出发，向前一步， $1/3$ 的概率回到 $A$ ， $2/3$ 的概率到达 $D$ 。第三个方程的意义是：从 $D$ 出发，向前一步， $2/3$ 的概率回到 $C$ ， $1/3$ 的概率到达 $B$ 。

解方程组得 $x=10$ ， $y=9$ ， $z=7$ 。

第六题

在一场拍卖中，有 10 个买家（编号依次为 1 至 10）在竞争一件明成化斗彩鸡缸杯。对这件鸡缸杯，每个买家都有各自的估价，我们用 $v_i$ 表示第 i 个买家的估价。每个买家只知道自己的估价，不知道其他人的估价，但是知道其它每个买家的估价都是集合 $\{10,20,30,\ldots,90,100\}$ 上的等可能分布。

拍卖过程如下：每个买家将自己的出价写在纸上、放入信封、交给拍卖的组织者。收到所有买家的信封之后，组织者打开它们，出价最高的买家将获得这件物品。当有多个买家的出价同时为最高出价时，这个鸡缸杯将被分给编号最小的买家。

最后，赢得鸡缸杯的买家需要支付所有出价中第二高的出价，没有赢得鸡缸杯的买家什么都不用支付。

请问，如果你是第 1 个买家，基于你的估价 $v_1$ ，你将使用什么样的策略出价，以保证自己的利益最大化？如果你是第 5 个买家，基于你的估价 $v_5$ ，你将使用什么样的策略出价？如果你是第 9 个买家，基于你的估价 $v_9$ ，你将使用什么样的策略出价？

此题是「贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash equilibrium）」中的一个经典例子，名为「二价拍卖（Second-price auction）」。选这道题的原因是主要考察将现实问题转换成数学模型的能力。首先扯个淡，「明成化斗彩鸡缸杯」中的「斗」是三声还是四声？中国瓷器的拍卖纪录就是明成化斗彩鸡缸杯创造的，今年 4 月 8 日，香港苏富比，上海收藏家刘益谦以 2.5 亿港币（加上佣金 2.81 亿港币）拍得一件明成化斗彩鸡缸杯。

有同学在试卷上写到「不知道『利益』是什么意思」。你觉得这个物品值 1000 元，你通过拍卖最后花了 200 元买到了这件物品，那么你的利益是不是应该等于「你对这个物品的估值」减去「你花掉的金钱」，也就是 800 元呢！如果你觉得这个物品值 1000 元，你出价 200 元，但你没有买到，你的利益是不是应该是 0 呢！（你没有得到物品，也没有失去金钱）。想清楚这些之后，我们来看看应该每个人的利益的具体数学形式。

设第 i 个买家的出价是 $b_i$ 。考察第 i 个买家，令其他买家出价的最大值为 $p_i = \max_{j \ne i} b_j$ 。记住，在考虑第 i 个人的时候，固定住 $p_i$ 。那么我们可以知道第 i 个买家的利益是
$u_i(v_i,b_i,p_i) = \begin{cases} v_i - p_i, & b_i > b_1,b_2,\ldots,b_{i-1}, \quad b_i \ge b_{i+1},\ldots,b_{10} \\\ 0, & otherwise \end{cases}$
假设 $d_i$ 是第 i 个买家的一个出价。我们下面将对比 $d_i$ 和 $v_i$ 两种出价方式。

如果 $p_i \ge v_i$ ，那么出价 $d_i$ 只会有两种结果，一是赢得这个物品，这时他的利益为 $v_i - p_i \le 0$ ，非正数；二是没有赢得这个物品，利益为 0。这时，如果第 i 个人出价 $v_i$ ，他保证可以得到 0。
如果 $p_i < v_i$ ，那么出价 $v_i$ 保证第 i 个人赢得物品，支付 $p_i$ ，利益是正数。这时，如果第 i 个人出价 $d_i$ ，有可能 $d_i$ 比较小，没赢得这个物品（利益 0），有可能赢得这个物品，但收益与出价 $v_i$ 时一致。

综上所述，不论对于第几个买家来说，自己的估价是多少，就该出价多少。

另外，这个题目里面有很多干扰项：比如「10 个买家」这个条件就是没有用的，「其它每个买家的估价都是集合 $\{10,20,30,\ldots,90,100\}$ 上的等可能分布」也是多余的，问题里面分别提问第 1 个买家、第 5 个买家、第 9 个买家的出价也是迷惑诸位的。

第七题

请问，所有集合的全体是不是一个集合？请论述理由。（考虑集合 $A = \{ X \mid X \not\in X \}$ ）

这就是著名的罗素悖论（Russell's paradox），这个悖论引发了历史上的第三次数学危机。此题考查的是数学的修养。

答案是不是一个集合，原因如下：

假设所有集合的全体是一个集合，记为 $U$ 。根据提示考虑这个集合 $A = \{ X \in U \mid X \not\in X \}$

如果 $A \in A$ ，于是根据 $A$ 的定义， $A \not\in A$ ，矛盾。
如果 $A \not\in A$ ，则满足集合 $A$ 中元素需要满足的性质，于是 $A \in A$ ，矛盾。

因此，所有集合的全体不是一个集合。

成绩公布

SYD：20 = 10（ $P$ 坐标计算正确，椭圆方程错误，基于错误的椭圆方程分三种情况算的 $E$ 、 $F$ 两点）+ 0（空）+ 8（阳性概率错误，艾滋病 + 阳性的概率正确，使用贝叶斯公式正确）+ 0 + 2（三秒到达 $$B$$ 的概率正确）+ 0 + 0

小白龙：22 = 3（直线方程正确，知道可能是椭圆焦点）+ 0 +15 + 0 + 4（三、五秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 0

桔梗：10 = 3（直线方程正确，知道可能是椭圆焦点）+ 2（证明初始情况）+ 0 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 3（第五个买家的出价正确，缺解释）+ 0（空）

smile：28 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 0（空）+ 15 + 1（回答可以，图示无法理解）+ 4（三、五秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 3（回答不是，全体集合的全体属于自己）

狮子：22 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 0（空）+ 15 + 0（空）+ 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0（空）+ 0（空）

MODii：43 = 12（一种情况计算错误） + 7（使用数学归纳法、质数情况的讨论正确）+ 15 + 0 + 5（不回到 $A$ 的情况讨论基本正确）+ 0 + 4（回答不是，全体集合的全体属于自己，回答 ZF 公理）

K：23 = 4（ $P$ 坐标计算正确）+ 2（证明初始情况）+ 0 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0（空）+ 15

崩坏：12 = 1（一条直线方程正确）+ 4（使用数学归纳法）+ 0 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 4（第五个买家的出价部分正确，第九个买家的出价正确，缺解释）+ 1（回答不是）

呜哈哈：31 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 4（使用数学归纳法）+ 15 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 4（第一个买家的出价部分正确，第九个买家的出价正确，缺解释）+ 1（回答不是）

农夫山泉有点甜：48 = 12（两种情况计算错误） + 0 + 14（最后计算错误）+ 13（图示可以更清晰）+ 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 6（第一、九个买家的出价正确，缺解释）+ 1（回答不是）

Cam：26 = 14（一种情况计算错误）+ 0（空）+ 0 + 0（空）+ 0（空）+ 9（回答正确，缺解释）+ 3（回答不是，全体集合的全体属于自己）

xtb：12 = 4（一种情况正确）+ 4（使用数学归纳法）+ 0 + 0 + 0 + 3（第五个买家的出价正确，缺解释）+ 1（回答不是）

十寸：52 = 15 + 4（使用数学归纳法）+ 15 + 1（回答可以，图示无法理解）+ 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 15

美玉：16 = 3（直线方程正确）+ 0 + 0 + 13（图示可以更清晰）+ 0 + 0 + 0

SIM：35 = 2（直线方程正确）+ 0 + 15 + 0 + 15 + 0 + 3（回答不是，全体集合的全体属于自己）

[( )]：9 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 4（使用数学归纳法）+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0

流水：38 = 5（一种情况正确）+ 15 + 15 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0（空）+ 1（回答不是）

无：14 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 3（部分使用数学归纳法）+ 0 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 3（第五个买家的出价正确，缺解释）+ 1（回答不是）

YJ：8 = 4（ $P$ 坐标计算正确）+ 2（证明初始情况）+ 0 + 0 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 0

MH：26 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 1（部分证明初始情况）+ 15 + 1（回答能）+ 0 + 3（第五、九个买家的出价部分正确，缺解释）+ 1（回答不是）

GF：13 = 6（椭圆方程计算正确）+ 4（使用数学归纳法）+ 0 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 1（回答不是）

叔与李：9 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 1 + 0 + 1（回答能）+ 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 0

加菲：5 = 2（直线方程正确）+ 1（部分证明初始情况）+ 0 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 0

zx：1 = 0 + 0 + 0 + 1（回答可以）+ 0 + 0 + 0

数学别逗：32 = 14（一种情况计算错误）+ 0（空）+ 15 + 0（空）+ 0（空）+ 0（空）+ 3（回答不是，全体集合的全体属于自己）

RM：6 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 0 + 0 + 0 + 0 + 1（第一个买家的出价部分正确）+ 0

忆苦十年寒窗：27 = 8（ $P$ 坐标计算正确，一种情况计算正确）+ 5（证明初始情况，部分讨论正确）+ 0 + 12（图示可以更清晰）+ 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 0

昵称写长一点能一眼找到自己还不会重名：37 = 4（ $P$ 坐标计算正确）+ 0（空）+ 15 + 15 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 1（回答不是）

爹：42 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 4（使用数学归纳法）+ 15 + 0 + 14（有一处描述不准确）+ 3（第五个买家的出价正确，缺解释）+ 1（回答不是）

嗑震东：25 = 4（ $P$ 坐标计算正确）+ 4（使用数学归纳法）+ 15 + 0 + 1（考虑分类处理）+ 0（空）+ 1（回答不是）

三毛：5 = 0 + 4（使用数学归纳法）+ 0 + 0 + 0 + 0 + 1（回答不是）

Jack：24 = 6（ $P$ 坐标计算正确，一种情况部分正确）+ 0 + 15 + 0 + 0 + 3（第五个买家的出价正确，缺解释）+ 0（空）

阿九：33 = 4（ $P$ 坐标计算正确）+ 2（证明初始情况）+ 14（图示可以更清晰）+ 12 + 0 + 1（第一个买家的出价部分正确）+ 0（空）

Z：18 = 1（一条直线方程正确）+ 0（空）+ 15 + 1（回答能）+ 0 + 0 + 1（回答不是）

猫咪：27 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 1（一步讨论正确）+ 0 + 12（图示可以更清晰）+ 1（考虑分类处理）+ 8（第五、九买家的出价正确，讨论部分正确）+ 0（空）

安静的美男子：32 = 14（一处计算错误）+ 0 + 15 + 0 + 2（三秒到达 $B$ 的概率正确）+ 0 + 1（回答不是）

olando：29 = 5（ $P$ 坐标计算正确，知道可能是椭圆焦点）+ 0（空）+ 15 + 0 + 4（三、五秒到达 $B$ 的概率正确）+ 2（第五个买家的出价部分正确）+ 3（回答不是，全体集合的全体属于自己）

xx：1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1（回答不是）

以上。祝各位国庆快乐。

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五更听风 29 September 2014 at 15:35

看到最后一题我想起维特根斯坦，又去重新翻了一遍逻辑哲学论

The reason why a function cannot be its own argument is that the sign for a function already contains the prototype of its argument, and it cannot contain itself. For let us suppose that the function F(fx) could be its own argument: in that case there would be a proposition 'F(F(fx))', in which the outer function F and the inner function F must have different meanings, since the inner one has the form O(f(x)) and the outer one has the form Y(O(fx)). Only the letter 'F' is common to the two functions, but the letter by itself signifies nothing. This immediately becomes clear if instead of 'F(Fu)' we write '(do) : F(Ou) . Ou = Fu'. That disposes of Russell's paradox. （3.333）

一个命题永远不能阐述自己，理性永远无法解释自身。

Reply ↓

Xiang Sun

Letter 01 to IAS2014

第一题

第二题

第三题

第四题

第五题

第六题

第七题

成绩公布

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